Άρτια – Περιττή Συνάρτηση

Έστω ότι έχουμε τη συνάρτηση f με τύπο f(x)=x². Το πεδίο ορισμού της προφανώς είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ( Α_f=R) και για την οποία υπολογίζω το f(2)=2²=4 και το f(-2)=(-2)²=4. Παρατηρώ ότι ισχύει f(-2)=f(2). Το ίδιο ισχύει και για τους αριθμούς -3 και 3 και οι δύο μου δίνουν την ίδια εικόνα, αφού f(-3)=(-3)²=9 και f(3)=3²=9. Αν το σκεφτούμε λίγο θα δούμε ότι αυτό συμβαίνει για οποιονδήποτε αριθμό x και να διαλέξω, πράγματι το f(x)=x² αλλά και το -x που ανήκει και αυτό στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης μας δίνει f(-x)=(-x)²=x²=f(x). Μια συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα λέγεται άρτια. Συγκεκριμένα,

[su_tabs vertical=”yes”][su_tab title=”Άρτια” disabled=”no” anchor=”” url=”” target=”blank” class=””]Μια συνάρτηση f λέγεται άρτια αν για κάθε αριθμό x που θα διαλέγω από το πεδίο ορισμού της να υπάρχει κι ο αντίθετός του, ο -x, στο πεδίο ορισμού και επιπλέον οι δύο αυτοί αριθμοί να έχουν την ίδια εικόνα.[/su_tab]
[su_tab title=”Περιττή” disabled=”no” anchor=”” url=”” target=”blank” class=””]Μια συνάρτηση f λέγεται περιττή αν
για κάθε αριθμό x που θα διαλέγω από το πεδίο ορισμού της να υπάρχει κι ο αντίθετός του, ο -x, στο πεδίο ορισμού και επιπλέον οι δύο αυτοί αριθμοί να έχουν αντίθετες εικόνες.[/su_tab]
[/su_tabs]

Ας δούμε αυτούς τους ορισμούς ξανά γραμμένους τώρα με μαθηματικά σύμβολα:

[su_box title=”Άρτια” style=”soft” box_color=”#011125″]αν πληρούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες
για κάθε $x\in A_f$ και το $-x\in A_f$
και να ισχύει $f(-x)=f(x)$ για κάθε $x\in A_f$ [/su_box]

[su_box title=”Περιττή” style=”soft” box_color=”#011125″]αν πληρούνται οι δύο παρακάτω συνθήκες
για κάθε $x\in A_f$ και το $-x\in A_f$
και να ισχύει $f(-x)=-f(x)$ για κάθε $x\in A_f$ [/su_box]

Ας επανέλθουμε στο παράδειγμα από το οποίο ξεκινήσαμε, για την συνάρτηση $f(x)=x^2$ Το σημείο Α(2,f(2)) δηλαδή το Α(2,4) ανήκει στη γραφική παράσταση της f. Το ίδιο όμως συμβαίνει και με το σημείο Α'(-2,f(-2))=(-2,4). Τα σημεία όμως αυτά είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα ψ’ψ. Γενικότερα το ίδιο συμβαίνει με κάθε σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, αφού αυτή αποτελείτε από τα σημεία Μ(x,f(x)) και Μ'(-x,f(-x))=(-x,f(x)) που είναι συμμετρικά ως προς τον ψ’ψ. Αυτό “γεωμετρικά” σημαίνει ότι η γραφική παράσταση της f έχειτον άξονα ψ’ψ ως άξονα συμμετρίας.

κατ’ αντιστοιχία μιας περιττής συνάρτησης η γραφική παράσταση αποτελείται από τα σημεία Ν(x,f(x)) και Ν'(-x,f(-x))=(-x,-f(x)) που είναι συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων Ο(0,0). Δηλαδή με άλλα λόγια η γραφική παράσταση μιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων.