Ασκήσεις Μιγαδικών

ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ

Μετά τη θεωρία που ολοκληρώσαμε στο προηγούμενο άρθρο ήρθε η ώρα να λύσουμε μερικές ασκήσεις για να δούμε πως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτά που μάθαμε. Θα δούμε ασκήσεις για το πως μπορούμε να υπολογίζουμε τις διάφορες δυνάμεις το i, από τις μικρότερες μέχρι και πολύ μεγάλες. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με ασκήσεις που αναφέρονται στην έννοια του μιγαδικού αριθμού αλλά και στις πράξεις ανάμεσα σε μιγαδικούς. Θα ολοκληρώσουμε με ασκήσεις πάνω στο μέτρο του μιγαδικού και στον συζυγή του. Οι ασκήσεις είναι απλές αλλά βασικές και θεωρείτε απαραίτητο να μπορείτε να διαπραγματευτείτε τέτοιου επιπέδου ασκήσεις για να μπορέσετε να πάτε στο Next Level. Στο τέλος του άρθρου προτείνεται και ένας σύνδεσμος που ανοίγοντάς τον θα οδηγειθήτε σε σελίδα συναδέλφου με πλούσιο υλικό στους μιγαδικούς όπως φυλλάδια με θεωρία, παραδείγματα, μεθοδολογίες και ασκήσεις.

[nextpage title=”Δυνάμεις του i”]

Άσκηση1:

Να υπολογίσετε τις παραστάσεις:

$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}$
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}$

Λύση:

Για τις δυνάμεις του i πρέπει να γνωρίζουμε ότι:
i⁰=1, i¹=i, i²= -1,i³= -i, i⁴=1 και μάλιστα η τελευταία ισότητα θα έλεγα ότι είναι η πιο σημαντική αφού μας επιτρέπει να υπολογίζουμε μεγάλες δυνάμεις του i και αυτό γιατί αν έχουμε να υπολογίσουμε το i^Δδιαιρούμαι το Δ με το 4 κι έστω ότι βρίσκουμε

πηλίκο π και υπόλοιπο υ, τότε σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης θα έχουμε Δ=4π+υ οπότε θα ισχύει i^Δ=i^4π+υ=i^4π.i^υ=1^.i^υ=i^υ. Πράγμα που σημαίνει τελικά ότι όταν έχουμε να υπολογίσουμε δυνάμεις του i που ο εκθέτης είναι μεγαλύτερος του 4, διαιρούμαι τον εκθέτη με το 4 και κρατάμε μόνο το υπόλοιπο. Για παράδειγμα το i¹⁰=i²= -1 αφού η διαίρεση του 10 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2.
Πάμε τώρα στην άσκησή μας

i⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 6 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i¹⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 16 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i²⁶=i^{2= -1}	αφού η διαίρεση του 26 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i³⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 36 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
i⁴⁶=i²= -1	αφού η διαίρεση του 46 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 2
i⁵⁶=i⁰=1	αφού η διαίρεση του 56 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 0
$i^6+i^{16}+i^{26}+i^{36}+i^{46}+i^{56}=$ $-1+1-1+1-1+1=0$

i¹¹=i³= -i	αφού η διαίρεση του 11 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i⁴¹=i¹=i	αφού η διαίρεση του 41 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1
i⁷⁵=i³ -i	αφού η διαίρεση του 75 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
i¹⁰²³=i³= -i	αφού η διαίρεση του 1023 με το 4 αφήνει υπόλοιπο 3
$\frac{1}{i^{11}}+\frac{1}{i^{41}}+\frac{1}{i^{75}}+\frac{1}{i^{1023}}=$ $\frac{1}{-i}+\frac{1}{i}+\frac{1}{-i}+\frac{1}{-i}=-\frac{2}{i}$

Άσκηση2:

Να αποδείξετε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

Λύση:

Το να υπολογίσουμε το (1+i)²⁰ απαιτεί χρήση ταυτότητας που δεν γνωρίζουμε, κάνουμε εμείς λοιπόν την ταυτότητα που ξέρουμε ( άθροισμα στο τετράγωνο) ελπίζοντας να βγει κάτι χρήσιμο (που είναι σίγουρο ότι θα βγει)

$(1+i)^2=1^2+2i+i^2=$

$=1+2i-1=2i$

άρα

$(1+i)^{20}=(1+i)^{2\cdot 10}=$

$=((1+i)^2)^{10}=(2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

Όμοια

$(1-i)^2=1^2-2i+i^2=$

$=1-2i-1=-2i$

άρα

$(1-i)^{20}=(1-i)^{2\cdot 10}=$

$=((1-i)^2)^{10}=(-2i)^{10}=$

$=2^{10}\cdot i^{10}=2^{10}\cdot i^2=-2^{10}$

κι έτσι δείξαμε ότι $(1+i)^{20}=(1-i)^{20}$

[su_note note_color=”#2ec4b6″]Η μεθοδολογία εδώ είναι: για να υπολογίσουμε μεγάλες δυνάμεις ενός μιγαδικού z, υπολογίζουμε πρώτα μικρές δυνάμεις $z^2$ , $z^3$ , … μέχρι να πετύχουμε κάποια δύναμη του z που να είναι πραγματικός ή φανταστικός αριθμός. Στη συνέχεια εκμεταλλευόμαστε αυτό το αποτέλεσμα ώστε να βρούμε τον $z^\nu$ .[/su_note]

[nextpage title=”Έννοια του μιγαδικού – Πράξεις”]

Άσκηση1:

Δίνεται ο μιγαδικός $z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$ με $x,y \in \mathbb{R}$ . Να γράψετε τον z στη μορφή a+bi και στη συνέχεια να βρείτε:

Το x ώστε ο z να είναι φανταστικός
Τη σχέση που συνδέει τα x και y ώστε ο z να είναι πραγματικός
Τα x και y ώστε να ισχύει z=0

Λύση:

Κατ’ αρχάς απαλλασσόμαστε από τις παρενθέσεις και συμμαζεύουμε (τους πραγματικούς με τους πραγματικούς και τους φανταστικούς με τους φανταστικούς).

$z=6i-(3-4i)x-3yi-(3i-2)x+(4-2yi)$

$z=6i-3x+4xi-3yi-3xi+2x+4-2yi$

οπότε

$(4-x)+(x-5y+6)i$

Για να ισχύει $z\in \mathbb{I}$ πρέπει το πραγματικό του μέρος να είναι ίσο με μηδέν, δηλαδή 4 – x=0, άρα x=4
Για να είναι ο z πραγματικός πρέπει το φανταστικό του κομμάτι να είναι 0. Πρέπει δηλαδή να ισχύει x – 5y+6=0 κι αυτή είναι η σχέση που συνδέει τα x και y.
Για να έχουμε τώρα z=0 θα πρέπει και το φανταστικό αλλά και το πραγματικό μέρος του z να είναι ίσο με 0. Δηλαδή,
$z=0\Leftrightarrow x=4 \: \kappa\alpha\iota \: x-5y+6=0 \Leftrightarrow$

$x=4 \: \kappa\alpha\iota \: 4-5y+6=0$
άρα $x=4$ και $y=2$

Άσκηση2:

Αν $z=\frac{5-9i}{7+4i}$ και $w=\frac{5+9i}{7-4i}$ να δείξετε ότι ο z+w είναι πραγματικός και ότι ο z – w είναι φανταστικός.

Λύση:

Πρώτα θα φέρουμε τους μιγαδικούς στη μορφή a+bi κι επειδή είναι πηλίκο πολ/ζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον συζυγή του παρονομαστή. Παράλληλα για να γλυτώσουμε πράξεις καλό είναι να θυμηθούμε ότι αν z=a+bi, τότε $z \cdot \overline{z}=|z|^2=a^2+b^2$ . Έχουμε λοιπόν,

$z=\frac{5-9i}{7+4i}$

$z=\frac{(5-9i)(7-4i)}{(7+4i)(7-4i)}$

$z=\frac{35-20i-63i+36i^2}{7^2+4^2}$

$z=\frac{(35-36)+(-20-63)i}{65}$

$z=-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i$

Όμοια

$w=\frac{(5+9i)(7+4i)}{(7-4i)(7+4i)}$

$w=\frac{35+20i+63i+36i^2}{65}$

$w=\frac{(35-36)+(20+63)i}{65}$

$w=-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i$

Επομένως πράγματι ισχύουν $z+w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)+(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)$ $=-\frac{2}{65}$ που είναι πραγματικός και $z-w=(-\frac{1}{65}-\frac{83}{65}i)-(-\frac{1}{65}+\frac{83}{65}i)$ $=-2\frac{83}{65}i$ που είναι φανταστικός.

[nextpage title=”Συζυγής και Μέτρο Μιγαδικού”]

Άσκηση1:

(α) Να βρείτε τους μιγαδικούς που επαληθεύουν την ισότητα $z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

(β) Να βρεθεί ο μιγαδικός για τον οποίο ισχύει $\overline{z}=z^2$

Λύση:

Στις περισσότερες ασκήσεις θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε από τη σχέση που μας έχουν δώσει να υπολογίσουμε τα x και y οπότε θα μάθουμε και ποιος είναι ο z. Το ίδιο θα κάνουμε κι εδώ.

(α) Έστω λοιπόν ότι ο z=x+yi, τότε θα έχουμε

$z \cdot \overline{z}=|z|^2=x^2+y^2$

και

$z-\overline{z}=2yi$

έτσι η σχέση

$z \cdot \overline{z} +(z-\overline{z})=3+2i$

γίνεται

$x^2+y^2+2yi=3+2i$

από την οποία παίρνουμε δύο ισότητες (γιατί για να είναι ίσοι δύο μιγαδικοί πρέπει να έχουν ίσα και τα πραγματικά τους μέρη αλλά και τα φανταστικά τους) τις:

(σχέση 1) $x^2+y^2=3$

(σχέση 2) $2y=2$

από την οποία προκύπτει y=1. Την τιμή αυτή του y αντικαθιστούμε στην σχέση 1 που μας δίνει

$x^2+1^2=3 \Leftrightarrow x^2=2$

δηλαδή

$x=-\sqrt{2}$

$x=\sqrt{2}$

. Τελικά οι λύσεις που βρήκαμε από τη λύση του παραπάνω συστήματος είναι

$(x,y)=(-\sqrt{2},1)$

$(x,y)=(\sqrt{2},1)$

επομένως οι μιγαδικοί αριθμοί που ψάχναμε είναι οι

$z_1=-\sqrt{2}+i$

$z_2=\sqrt{2}+i$

(β) Κι εδώ θέτουμε z=x+yi κι αναζητούμε τα x και y ώστε να ισχύει η

$\overline{z}=z^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x+yi)^2 \Leftrightarrow$

$x-yi=x^2+2xyi+y^2i^2\Leftrightarrow$

$x-yi=(x^2-y^2)+2xyi$

αυτό όμως μπορεί να ισχύει μόνο αν ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις:

(σχέση 1) $x^2-y^2=x \Leftrightarrow x^2-x=y^2\Leftrightarrow x(x-1)=y^2$

(σχέση 2) $2xy=-y \Leftrightarrow 2xy+y=0 \Leftrightarrow y(2x+1)=0$

η σχέση 2 μας δίνει δύο λύσεις τις

$y=0$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$x(x-1)=0$
δηλαδή
$x=0$
ή
$x=1$
άρα
$z_1=0+0i=0$
ή
$z_2=1+0i=1$
$2x+1=0\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}$ , η οποία αν αντικατασταθεί στην σχέση 1 δίνει
$(-\frac{1}{2})^2-(-\frac{1}{2})=y^2\Leftrightarrow y^2=\frac{3}{4}$
δηλαδή
$y=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
ή
$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$
άρα
$z_3=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$
ή
$z_4=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Άσκηση2:

Να βρεθεί το μέτρο του μιγαδικού $z=( \frac{2+i}{1-3i} ) ^2$

Λύση:

Εδώ δεν συμφέρει να κάνουμε πράξεις για να φέρουμε τον z στη μορφή a+bi αλλά θα πρέπει να εκμεταλλευτούμε τις ιδιότητες του μέτρου:

$|z|=\left|\left( \frac{2+i}{1-3i}\right) ^2\right|$

$|z|=\left( \left|\frac{2+i}{1-3i}\right|\right) ^2$

$|z|=\left( \frac{|2+i|}{|1-3i|} \right) ^2$

$|z|=\left( \frac{2^2+1^2}{1^2+3^2} \right) ^2=\left(\frac{5}{10}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$

Άσκηση3:

Αν για τον μιγαδικό z ισχύει |z+9|=3|z+1|, αποδείξτε ότι |z|=3

Λύση:

1ος τρόπος:
Μια ασφαλής αλλά κουραστική μέθοδος είναι να θέσουμε $z=x+yi$ , οπότε
$z+9=(x+9)+yi$
και
$|z+9|^2=$

$=(x+9)^2+y^2=$

$=x^2+18x+81+y^2$

$z+1=(x+1)+yi$
και
$|z+1|^2=(x+1)^2 +y^2=$

$=x^2+2x+1+y^2$
άρα η σχέση που μας δώσανε γίνεται
$|z+9|^2=9|z+1|^2$

$x^2+18x+81+y^2=9x^2+18x+9+9y^2\Leftrightarrow$

$8x^2+8y^2=72\Leftrightarrow$

$x^2+y^2=9\Leftrightarrow$

$|z|^2=9\Leftrightarrow|z|=3$
2ος τρόπος:
Η καλύτερη μέθοδος είναι να δουλέψουμε με τις ιδιότητες ως εξής:
$|z+9|=3|z+1|\Leftrightarrow$

$|z+9|^2=9|z+1|^2\Leftrightarrow$

$(z+9)\overline{(z+9)}=9(z+1)\overline{(z+1)}\Leftrightarrow$

$(z+9)(\overline{z}+9)=9(z+1)(\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9(z\overline{z}+z+\overline{z}+1)\Leftrightarrow$

$z\overline{z}+9z+9\overline{z}+81=9z\overline{z}+9z+9\overline{z}+9)\Leftrightarrow$

$8z \overline{z}=72\Leftrightarrow$

$z\overline{z}=9\Leftrightarrow$

$|z|^2=9 \Leftrightarrow |z|=3$