Β' Γυμνασίου

Πως λύνω μια Εξίσωση α’ Βαθμού

- από τον/την pdouligeris - 80 σχόλια.

Κατ’ αρχάς να ξεκινήσουμε από τον τίτλο του άρθρου που είναι λάθος, γιατί αυτό που θα δούμε σ αυτή τη δημοσίευση είναι η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε τη λύση μιας εξίσωσης 1ου βαθμού και αυτή (η διαδικασία)  λέγεται επίλυση κι όχι λύση (λύση είναι το αποτέλεσμα που θα βρούμε όταν ολοκληρώσουμε την επίλυση). Ας δούμε λοιπόν ποια βήματα πρέπει να ακολουθούμε ώστε να βρίσκουμε σε οποιαδήποτε εξίσωση 1ου βαθμού, αν έχει λύση (ή λύσεις) και ποια είναι αυτή ή αν δεν έχει λύσεις.

Σκοπός μας είναι μέσα από τη διαδικασία που θα ακολουθήσουμε, σε οποιαδήποτε πρωτοβάθμια εξίσωση κι αν μας έχει δοθεί, να καταλήξουμε στη πιό απλή μορφή εξίσωσης που υπάρχει και είναι αυτή: \alpha\cdot\chi=\beta, όπου το \alpha και το \beta μπορεί να είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.

Ξεκινάμε λοιπόν με την επίλυση μιας “δύσκολης” εξίσωσης.

    \[\frac{x+1}{2}-14=\frac{5-x}4-\frac{x+2}3\]

και γιατί την χαρακτηρίζουμε δύσκολη; Τι είναι αυτό που μας ενοχλεί περισσότερο; Σίγουρα οι περισσότεροι θα απαντήσετε “οι παρονομαστές”. Έτσι για να κάνουμε τα πράγματα πιο εύκολα το πρώτο μας βήμα θα είναι να “Διώξουμε τους παρονομαστές” . [nextpage title=”Διώχνω Παρονομαστές”]

[su_quote align=”left”]Για να διώξω τους παρονομαστές από μία εξίσωση: Πολλαπλασιάζω κάθε όρο της εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών[/su_quote] Βλέπουμε ότι η εξίσωσή μας

    \[\frac{x+1}{2}-14=\frac{5-x}4-\frac{x+2}3\]

έχει παρονομαστές τους αριθμούς 2, 3 και 4. Το ΕΚΠ(2,3,4)=12. Θα πολλαπλασιάσουμε λοιπόν όλους τους όρους της εξίσωσης με το 12. Οι όροι (κομμάτια) μιας εξίσωσης “διαχωρίζονται” μεταξύ τους από τα πρόσημα + και – . Η δική μας εξίσωση έχει 4 όρους τους \frac{x+1}{2}, -14, \frac{5-x}{4} και -\frac{x+2}{3}. Οπότε θα έχουμε 12\frac{x+1}{2}-12\cdot 14=12\frac{5-x}{4}-12\frac{ x+2}{3}
Τώρα απλοποιώ τους παρονομαστές (γι’ αυτό το λόγω βάλαμε παντού το 12) κάνοντας διαίρεση το 12 με κάθε παρονομαστή.

    \[6\not12\frac{x+1}{\not2}-12\cdot 14=3\not12\frac{5-x}{\not4}-4\not12\frac{ x+2}{\not3}\]


Καθαρογράφουμε ότι απέμεινε έχοντας στο μυαλό μας το εξής: Όποιος αριθμητής αποτελείται από δύο κομμάτια θα μπει υποχρεωτικά σε παρένθεση.

Έχου φτάσει λοιπόν εδώ

    \[6(x+1)-168=3(5-x)-4(x+2)\]

Αυτή η εξίσωση προφανώς είναι ευκολότερη απο την αρχική αφού απαλλαχτήκαμε από τους παρονομαστές. Ευκολότερη είναι όχι όμως κι εύκολη, γιατί τώρα μας “ενοχλούν” οι παρενθέσεις. Πρέπει λοιπόν στο επόμενο βήμα να “Διώξω τις Παρενθέσεις. [nextpage title=”Διώχνω Παρενθέσεις”]

Για να διώξω τις παρενθέσεις από την εξίσωση

    \[6(x+1)-168=3(5-x)-4(x+2)\]

εφαρμόζω την επιμεριστική ιδιότητα, δηλαδή πολλαπλασιάζω τον αριθμό που βρίσκεται έξω από την παρένθεση και με τους δύο όρους που βρίσκονται μέσα στην παρένθεση. Οπότε προκύπτει 6\cdot x+6\cdot 1-168=3\cdot 5-3\cdot x-4\cdot x-4\cdot 2 δηλαδή

    \[6x+6-168=15-3x-4x-8\]

Όσο πάει και καλυτερεύει η κατάσταση αφού όσο προχωράμε τόσο πιο απλή γίνεται η εξίσωση. Τώρα όμως τι κάνουμε; Πως θα μπορούσα να προχωρήσω τις πράξεις μου; Δεν μπορώ να κάνω πρόσθεση ή αφαίρεση με όρους άγνωστους όπως ο 6x και με γνωστούς όπως ο 6 (από το Δημοτικό ήδη γνωρίζουμε ότι πρόσθεση – αφαίρεση γίνεται μόνο με ίδια πράγματα. Προσθέτω μήλα με μήλα, όχι μήλα με παγωτά). Επειδή πρέπει να προσθέσω (ή να αφαιρέσω) όμοια πράγματα αναγκάζομαι να ξεχωρίσω στο ένα μέλος τους αριθμούς (που ξέρω να τους προσθέτω) και στο άλλο τους άγνωστους όρους που περιέχουν τη μεταβλητή x (που ξέρω να τους προσθέτω). “Αναγκάζομαι λοιπόν στο επόμενο βήμα να “Χωρίσω τους Γνωστούς από τους Άγνωστους”. [nextpage title=”Χωρίζω Γνωστούς – Άγνωστους”]Εδώ θα πρέπει να θυμάμαι ότι:
[su_quote align=”left”]’Οποιος όρος αλλάξει μέλος θα πρέπει να αλλάξει και το πρόσημό του[/su_quote]
Για να δούμε, 

    \[6x+6-168=15-3x-4x-8\]

 

    \[6x+3x+4x=-6+168+15-8\]


Τώρα “Συμμαζεύω” δηλαδή κάνω πράξεις και στα δύο μέλη. [nextpage title=”Συμμαζεύω (Αναγωγή Όμοιων Όρων)”]

    \[6x+3x+4x=-6+168+15-8\]

    \[13x=169\]


Για να τελειώνουμε πρέπει το x να μείνει μόνο του, άρα πρέπει να φύγει από δίπλα του ο αριθμός 13 (Συντελεστής λέγεται). Για το λόγο αυτό “Διαιρώ με τον Συντελεστή του άγνωστου” και τα δύο μέλη απαραίτητα. Αυτό είναι το τελευταίο βήμα.
[nextpage title=”Διαιρώ με τον Συντελεστή του Άγνωστου”]\frac{13x}{13}=\frac{169}{13} ή αλλιώς x=13
Επιτέλους τέλος. Όσο κι αν μας φάνηκε κουραστικό το ευχάριστο είναι ότι ακολουθώντας αυτά τα πέντε συγκεκριμένα βήματα μπορείτε να βρίσκετε τη λύση σε κάθε εξίσωση. Μετά από δυο τρεις ασκήσεις που θα λύσετε θα δείτε ότι δεν είναι τόσο δύσκολο όσο φαίνεται την πρώτη φορά. Πριν τελειώσουμε θα ήθελα εδώ να κάνω κάποιες παρατηρήσεις για το τελευταίο βήμα.

Είπαμε ότι ακολουθώντας την παραπάνω διαδικασία στο τέταρτο βήμα καταλήγω πάντα στη μορφή \alpha\cdot x=\beta, όπως εδώ στο παράδειγμα φτάσαμε στο “Συμμάζεμα” στη μορφή 13x=169 άρα α=13 και β=169. Στο τελευταίο βήμα που λέμε “Διαιρώ με τον Συντελεστή του Άγνωστου” υπάρχει μια “ανακρίβεια” … [nextpage title=”Αδύνατη ή Αόριστη Εξίσωση”]πως να διαιρέσω με τον συντελεστή του άγνωστου αν έχω φτάσει σε μια μορφή κάπως έτσι 0x=169. Να διαιρέσω με το 0 δεν γίνεται, δεν έχει νόημα, άρα τι κάνω; 0x ξέρω ότι κάνει 0 (οποιοσδήποτε αριθμός πολλαπλασιαστεί με το 0 κάνει 0) άρα η εξίσωση 0x=169 είναι ίδια με αυτή 0=169. Μα αυτό δεν μπορεί να συμβαίνει είναι Αδύνατο να συμβαίνει γι’ αυτό το λόγο μια τέτοια εξίσωση λέγεται ΑΔΥΝΑΤΗ.

Μην ξεχνάτε ότι από την αρχή που ξεκινάμε να λύσουμε μια εξίσωση αυτό που ψάχνουμε να βρούμε είναι ποιος είναι εκείνος ο αριθμός που θα μπορούσε να πάρει τη θέση του x και αν εκτελεστούν οι πράξεις στο πρώτο μέλος και στο δεύτερο να πάρω το ίδιο αποτέλεσμα και από τις δύο μεριές. Σε κάθε βήμα που κάνουμε έχουμε την ίδια εξίσωση αλλά σε πιο απλή μορφή (ισοδύναμη εξίσωση όπως λέμε εμείς οι μαθηματικοί). Κοιτώντας λοιπόν την εξίσωση 0x=169 καταλαβαίνουμε ότι δεν υπάρχει αριθμός που θα μπορούσε να πάρει τη θέση του x και το πρώτο μέλος να γίνει ίσο με το δεύτερο. Αφού με οποιονδήποτε αριθμό στη θέση του  x το πρώτο μέλος κάνει πάντα 0 ενώ το δεύτερο είναι 169. Συμπέρασμα, “Η ΑΔΥΝΑΤΗ ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΛΥΣΕΙΣ” και πως καταλαβαίνουμε αν μια εξίσωση είναι αδύνατη; Το καταλαβαίνουμε όταν καταλήγει στη μορφή 0x=\beta με β οποιοδήποτε αριθμό διαφορετικό του μηδενός (\beta\neq0).

Πρωτοβάθμιας Εξίσωση
Μεθοδολογία Επίλυσης Πρωτοβάθμιας Εξίσωσης

Σκεφτόμαστε τώρα κι αν μια εξίσωση καταλήξει στη μορφή 0x=0; Γιατί μέχρι τώρα είδαμε
Αν φτάσει στη μορφή 13x=169 ,\alpha=13\neq0, διαιρώ με το συντελεστή του άγνωστου και βρίσκω x=13.
Αν φτάσει στη μορφή 0x=169, \alpha=0, \beta=169\neq0, η εξίσωση είναι αδύνατη (δεν έχει λύσεις) κι 
Αν φτάσει στη μορφή 0x=0, οποιοσδήποτε αριθμός και να πάρει τη θέση του x το πρώτο μέλος θα κάνει 0, όσο και το δεύτερο. Δηλαδή το πρώτο μέλος “ταυτίζεται” με το δεύτερο για όλους τους αριθμούς. Γι’ αυτό το λόγο η εξίσωση που καταλήγει σε αυτή τη μορφή λέγεται “Ταυτότητα” ή και “Αόριστη” και έχει άπειρες λύσεις, όλους τους αριθμούς.

Έτσι λοιπόν μια πρωτοβάθμια εξίσωση μπορεί

  • να έχει μια και μοναδική λύση (\alpha\neq0)
  • να μην έχει καμία λύση (\alpha=0 \beta\neq0)
  • να έχει λύσεις όλους τους αριθμούς (\alpha=0 \beta=0)

Αφού ολοκληρώσαμε μπορείτε να  δείτε σχηματικά τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση μιας εξίσωσης
[nextpage title=”Μεθοδολογία”]

 

Μεθοδολογία Επίλυσης Πρωτοβάθμιας Εξίσωσης

[su_accordion][su_spoiler title=”Διώχνω Παρονομαστές” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]Πολλαπλασιάζω με το ΕΚΠ των παρονομαστών ΟΛΟΥΣ τους όρους[/su_spoiler] [su_spoiler title=”Δίωχνω Παρενθέσεις” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]Εφαρμόζω Επιμεριστική ιδιότητα προσέχοντας αν υπάρχει – έξω από την παρένθεση να αλλάξω πρόσημα[/su_spoiler] [su_spoiler title=”Χωρίζω Γνωστούς – Άγνωστους” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]Ότι αλλάζει μέλος αλλάζει και πρόσημο[/su_spoiler] [su_spoiler title=”Κάνω Πράξεις και στα δύο μέλη” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]και καταλήγω στη μορφή αχ=β[/su_spoiler] [su_spoiler title=”Διαιρώ με τον συντελεστή του Άγνωστου” open=”no” style=”default” icon=”plus” anchor=”” class=””]ΜΟΝΟ στη περίπτωση που ο συντελεστής του άγνωστου (το α) δεν είναι 0 και βρίσκω λύση χ=β/α. Αν ο συντελεστής α είναι 0 τότε η εξίσωση θα είναι:
Είτε ΑΔΥΝΑΤΗ, αν το β δεν είναι 0
Είτε ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ, αν το β=0[/su_spoiler][/su_accordion]

Κάντε “Λήψη” του παρακάτω αρχείου που περιέχει τη μεθοδολογία επίλυσης μιας εξίσωσης α’ βαθμού, ένα αναλυτικά λυμένο παράδειγμα και άλυτες ασκήσεις για εξάσκηση.

[wpdm_package id=13044 template=”link-template-calltoaction3.php”]

Σχετικά Άρθρα

Άρρητοι Αριθμοί

Άρρητος Αριθμός

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα

Σχετικά με pdouligeris

Δείτε όλα τα άρθρα του/της pdouligeris →

80 σχόλια σχετικά με το “Πως λύνω μια Εξίσωση α’ Βαθμού”

    1. Το -8 προέκυψε στο προηγούμενο βήμα που βγάζαμε τις παρενθέσεις. Εκεί είχαμε -4(χ+2) κάναμε επιμεριστική ιδιότητα για να φύγει η παρένθεση οπότε το -4 πολλαπλασιάστηκε με το χ κι έγινε -4χ αλλά πολλαπλασιάστηκε και με το +2 κι έγινε -4×2=-8

      Απάντηση

      1. Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση . Σχολίασα πολύ γρήγορα, πριν κοιτάξω προσεχτικά την άσκηση . Έχετε δίκιο !
        Θα μπορούσατε να κάνετε μια αντίστοιχη επεξήγηση για εξισώσεις δεύτερου βαθμού ; Είδα ότι υπάρχει κάποιο σχετικό άρθρο αλλά δεν μπορω να το ανοίξω . Σας ευχαριστώ πολύ για την δουλειά σας !

        Απάντηση

    1. Το -8 προέκυψε στο προηγούμενο βήμα που βγάζαμε τις παρενθέσεις. Εκεί είχαμε -4(χ+2) κάναμε επιμεριστική ιδιότητα για να φύγει η παρένθεση οπότε το -4 πολλαπλασιάστηκε με το χ κι έγινε -4χ αλλά πολλαπλασιάστηκε και με το +2 κι έγινε -4×2=-8

      Απάντηση

      1. Σας ευχαριστώ πολύ για την απάντηση . Σχολίασα πολύ γρήγορα, πριν κοιτάξω προσεχτικά την άσκηση . Έχετε δίκιο !
        Θα μπορούσατε να κάνετε μια αντίστοιχη επεξήγηση για εξισώσεις δεύτερου βαθμού ; Είδα ότι υπάρχει κάποιο σχετικό άρθρο αλλά δεν μπορω να το ανοίξω . Σας ευχαριστώ πολύ για την δουλειά σας !

        Απάντηση

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *