Παραγοντοποίηση

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Παραγοντοποίηση είναι η μετατροπή ενός αριθμού, ή μιας αλγεβρικής παράστασης σε γινόμενο.
Γιά παράδειγμα μπορούμε να παραγοντοποιήσουμε τον αριθμό 12 και να τον γράψουμε 2^.6, αφού 12=2^.6. Οι αριθμοί 2 και 6 λέγονται παράγοντες (ή διαιρέτες) του 12. Με την ανάλυση αριθμού σε γινόμενο δεν θα ασχοληθούμε εδώ, αυτό το κάναμε πολλά χρόνια πριν στο Δημοτικό και στη Α΄ Γυμνασίου (θυμηθείτε την ανάλυση ενός σύνθετου αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, όπου το 12 το γράφαμε $12=2^2\cdot 3$ ). Στο άρθρο αυτό θα δούμε με ποιούς τρόπους μπορούμε μια αλγεβρική παράσταση να τη παραγοντοποιήσουμε, δηλαδή να την μετατρέψουμε σε γινόμενο. Πριν ξεκινήσουμε όμως ας κάνουμε μερικές παρατηρήσεις και πρώτα απ’ όλα να πούμε ότι δεν παραγοντοποιούνται όλες οι αλγεβρικές παραστάσεις άλλες γίνονται γινόμενο κι άλλες όχι. Επίσης να πούμε ότι οι τρόποι που θα παρουσιάσουμε εδώ δεν είναι οι μοναδικοί αλλά είναι μόνο αυτοί που μπορεί να χρησιμοποιήσει ένας μαθητής της Γ΄ Γυμνασίου με αυτά που έχει διδαχθεί μέχρι τώρα και σύμφωνα με τη νέα ύλη (έκδοση light δηλαδή). Για τους μαθητές της Α΄ Λυκείου έχουμε επιπλέον τρόπους και για τους μαθητές της Β΄ Λυκείου ακόμη περισσότερους.

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση;

Όταν μας δωθεί μια αλγεβρική παράσταση και για κάποιο λόγο πρέπει να την μετατρέψουμε σε γινόμενο ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:

Ελέγχουμε αν μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο του Κοινού Παράγοντα. Αν ναι έχει καλώς την εφαρμόζουμε και τελειώσαμε (συνήθως) αν όχι τότε πάμε στην
Μέθοδο της Ομαδοποίησης αλλά αν δεν εφαρμόζεται ούτε κι αυτή θα κοιτάξουμε μήπως μπορούμε να
Κάνουμε χρήση των Ταυτοτήτων
Εξετάζουμε μήπως η παράσταση που έχουμε είναι τριώνυμο

Ας δούμε όμως αυτές τις μεθόδους αναλυτικά:

Πριν από αυτό όμως σας προτείνω να διαβάσετε την κάθε μέθοδο χωριστά. Πρώτα τη “μέθοδο του Κοινού Παράγοντα” να την καταλάβετε καλά, να λύσετε μερικές ασκήσεις και μόλις νοιώσετε σίγουροι να επιστρέψετε στο άρθρο και να ασχοληθείτε με την επόμενη μέθοδο κ.ο.κ. Το άρθρο είναι μεγάλο και δύσκολο, εγώ το έγραψα όλοκληρο για να πάρετε μια πιο ολοκληρωμένη ιδέα, εσείς όμως κατά την (όχι ταπεινή) γώμη μου θα πρέπει να το “σπάσετε”. Επίσης εδώ παίρνουμε μια γενική ιδέα της παραγοντοποίησης, λεπτομέρειες, “παγίδες” και tips σε επόμενο άρθρο που θα λύσουμε ασκήσεις.

[nextpage title=”Κοινός Παράγοντας”]

“Κοινός Παράγοντας”

Στην αλγεβρική παράσταση 2χ+2ψ+14ω, τα 2χ, 2ψ και 14ω λέγονται “όροι” της παράστασης. Στον όρο 2χ οι 2 και χ λέγονται παράγοντες του 2χ, ανάλογα το 2 και ψ είναι οι παράγοντες του 2ψ και οι 14 και ω οι παράγοντες του 14ω. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 2 είναι “κοινός παράγοντας” αφού εμφανίζεται σε όλους τους όρους. Στους 2χ και 2ψ είναι προφανές ενώ στον όρο 14ω είναι κρυμμένος μέσα στο 14 (14=2^.7).

Όταν λοιπόν στην παράσταση που θέλουμε να μετατρέψουμε σε γινόμενο είμαστε “τυχεροί” και υπάρχει κοινός παράγοντας τότε κάνουμε χρήση της επιμεριστικής ιδιότητας α(β+γ)=αβ+αγ . Έτσι η παράσταση 2χ+2ψ+14ω γίνεται 2χ+2ψ+14ω=2χ+2ψ+2^.7ω=2(χ+ψ+7ω) που έγινε γινόμενο και τελειώσαμε.

Όταν κοιτάμε μήπως υπάρχει κάποιος κοινός παράγοντας, κοιτάμε για κοινό αριθμό ή κοινό γράμμα ή ακόμη και για κοινή παρένθεση. Δείτε τα παραδείγματα παρακάτω:

$2x-ax+bx^2=x(2-a+bx)$

κοινός παράγοντας ήταν το x που υπήρχε παντου αφού $2x-ax+bx^2=2x-ax+bxx$ .

$3k(x+y)+6a(x+y)-12b(x+y)=3(x+y)(k+2a-4b)$ , κοινός παράγοντας ήταν το 3 που είναι κρυμμένο και στο 6 και στο 12 αλλά και η παρένθεση (χ+ψ).

Παρατηρήσεις:
α) Για να βρούμε τι θα γράψουμε μέσα στη παρένθεση αφού βγάλουμε τον κοινό παράγοντα, διαιρούμε κάθε όρο με τον κοινό παράγοντα (αν και συνήθως είναι προφανές “φαίνεται με το μάτι” και δεν κάνουμε τη διαίρεση).
β) Για να ελέγξουμε αν η παραγγοντοποίηση έγινε σωστά μπορούμε να κάνουμε επιμεριστική στο αποτέλεσμα και θα πρέπει οπωσδήποτε να προκύψει το πρώτο μέλος, δηλαδή ότι μας ήχαν δώσει στην αρχή.
γ) Μερικές φορές είναι χρήσιμο να βγάζουμε κοινό παράγοντα κάποιον αριθμό που μπροστά του να έχει πρόσημο – . Σε αυτές τις περιπτώσεις οι όροι που παραμένουν στην παρένθεση έχουν αντίθετο πρόσημο από αυτό που είχαν. Για παράδειγμα στην παράσταση $2x - 2y$ μπορώ να βγάλω κοινό παράγοντα το 2 και να γίνει $2x - 2y=2(x-y)$ αλλά θα μπορούσα να βγάλω κοινό παράγοντα και το -2, αν το ήθελα, τότε θα είχαμε $2x - 2y = -2(-x+y)=-2(y-x)$ .
δ) Αν κάποιος παράγοντας εμφανίζεται με διαφορετικές δυνάμεις επιλέγουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα αυτόν με τη μικρότερη δύναμη. π.χ. παρακάτω το a εμφανίζετει ως $a^3$ στον πρώτο όρο και ως $a^2$ στον δεύτερο, εμείς επιλέγουμε ως κοινό παράγοντα το $a^2$ και αυτό γιατί το $a^3=aaa$ και $a^2=aa$ που σημαίνει ότι τα “κοινά a” είνα δύο (αν θελήσω να βγάλω τρια a κοινό παράγοντα τότε το $a^2$ δεν έχει να μου δώσει)

$2a^3(x+y)^2+4a^2(x+y)^3=$

$=2a^2(x+y)^2(a+2(x+y))=$

$=2a^2(x+y)^2(a+2x+2y)$

[nextpage title=”Ομαδοποίηση”]

“Ομαδοποίηση”

Επειδή δεν θα είμαστε πάντα τυχεροί να έχουμε κοινό παράγοντα όπως στην περίπτωση της παράστασης $2ax+4ay+3bx+6by$ , τότε κοιτάμε μήπως αν χωρίσουμε τους όρους σε ομάδες καταφέρουμε να βρούμε κοινό παράγοντα. Πράγματι οι όροι 2ax και 4ay έχουν κοινό παράγοντα το 2a, οπότε $2ax+4ay=2a(x+2y)$ , ενώ οι όροι 3bx και 6by έχουν κοινό παράγοντα το 3b, οπότε $3by+6by=3b(x+2y)$ . Για να δούμε τι μπορούμε να κάνουμε τώρα, μέχρι στιγμής έχουμε

$2ax+4ay+3bx+6by=$

$(2ax+4ay)+(3bx+6by)$

$=2a(x+2y)+3b(x+2y)$

Οι όροι από 4 έγιναν 2 και μάλιστα έχουν κοινό παράγοντα την παρένθεση (x+2y), άρα

$2αχ+4αψ+3βχ+6βψ=$

$=2a(x+2y)+3b(x+2y)=$

$=(x+2y)(2a+3b)$

Η μέθοδος που ακολουθήσαμε εδώ λέγεται “ομαδοποίηση” ή παραγοντοποίηση κατά ομάδες και ο λόγος είναι προφανής αφού αναγκαστήκαμε να χωρίσουμε την παράσταση σε ομάδες και να βγάλουμε κοινό παράγοντα σε κάθε ομάδα χωριστά.

Παρατηρήσεις:
(α) Στη μέθοδο της ομαδοποίησης ποτέ δεν τελειώνουμε αμέσως αλλά υπάρχουν πάντα (τουλάχιστον) δύο στάδια. Αφού τελειώσουμε την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας πρέπει οι παρενθέσεις που θα μείνουν να είναι ίδιες ή αντίθετες ώστε να ξαναβγεί κοινός παράγοντας.
(β) Αν οι παρενθέσεις που θα μείνουν κατά το πρώτο στάδιο δεν είναι ίδιες μάλλον έχουμε διαλέξει λάθος ομάδες. Ξαναδοκιμάζουμε λοιπόν παίρνοντας διαφορετικές ομάδες. π.χ. Για να παραγοντοποιήσω την $ax^3+2ab+bx^2+2a^2x$ κάνω τα εξής:

$ax^3+2ab+bx^2+2a^2x=$

$=(ax^3+2ab)+(bx^2+2a^2x)=$

$=a(x^3+2b)+x(bx+2a^2)$

και δεν μπορώ να συνεχίσω στο δεύτερο στάδιο αφού οι παρενθέσεις δεν είναι ίδιες κι επομένως δεν έχω κοινό παράγοντα. Αν όμως διαλέξουμε διαφορετικές ομάδες:

$ax^3+2ab+bx^2+2a^2x=$

$=(ax^3+bx^2)+(2ab+2a^2x)=$

$=x^2(ax+b)+2a(b+ax)=$

$=(ax+b)(x^2+2a)$

είμαστε εντάξει.
(γ) Αν οι παρενθέσεις που θα μας μείνουν κατά το πρώτο στάδιο της παραγοντοποίησης κατά ομάδες είναι αντίθετες αυτό διορθώνεται εύκολα αρκεί να αλλάξουμε πρόσημο έξω από μια παρένθεση (όποια θέλουμε) και να αλλάξουμε όλα τα πρόσημα μέσα σε αυτή την παρένθεση. Δείτε το

$x^3- x^2 - 2x +2=$

$=x^2(x-1)+2(-x+1)$

Οι παρενθέσεις είναι αντίθετες, το διορθώνω είτε αλλάζοντας πρόσημο στη πρώτη ομάδα γράφοντας – χ² αντί για το χ² είτε γράφοντας -2 στη δεύτερη ομάδα αντί γιά το 2 κι έτσι θα έχουμε

$x^3- x^2- 2x +2=$

$=x^2(x-1)+2(-x+1)=$

$=x^2(x-1) - 2(x-1)=$

$=(x-1)(x^2 - 2)$

Διάλεξα τελικά την δεύτερη παρένθεση έκανα το +2, -2 αλλά άλλαξα και όλα τα πρόσημα μέσα στη παρένθεση αυτή.

δ) Συνήθως για να κάνω ομαδοποίηση πρέπει οι όροι (τα κομμάτια) της αλγεβρικής παράστασης να είναι σε πλήθος ζυγός αριθμός και πάνω από δύο και φροντίζω οι ομάδες που θα χωρίσω να έχουν όλες το ίδιο πλήθος όρων π.χ. μια παράσταση με πέντε όρους δεν ξεκινάω να την λύσω με ομαδοποίηση γιατί αν χωρίσω ομάδες δεν θα είναι ισοδύναμες η μια θα έχει εστω 2 όρους και η άλλη 3 όρους. Πράγμα που σημαίνει ότι οι παρενθέσεις που θα προκύψουν μετά την παραγοντοποίηση κάθε ομάδας θα έχουν η μία 2 όρους και η άλλη 3 όρους γηλαδή αποκλείεται να βγουν ίδιες ή αντίθετες που επιθυμώ. Το ίδιο πρέπει να προσέξω όταν έχω ας πούμε 6 όρους θα πάρω ομάδες 3 ζευγάρια (2+2+2) ή θα πφτιαξω 2 ομάδες των τριών (3+3). Φυσικά όλα αυτά δεν αφορούν τις “ιδιότροπες” ασκήσεις, δεν αποτελούν κανόνα δηλαδή. Υπάρχουν ασκήσεις όπου αυτά “δεν ισχύουν”. Για το λόγο αυτό διάβασε και τη συνέχεια στην ενότητα “Συνδυασμοί”.

[nextpage title=”Ταυτότητες”]

“Ταυτότητες”

Αν τελικά είμαστε πολύ “άτυχοι” και οι δύο προηγούμενοι τρόποι δεν μπορούν να εφαρμοστούν ελέγχουμε μήπως στην παράσταση υπάρχουν ταυτότητες που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Πιο συγκεκριμένα οι ταυτότητες που πιθανόν να υπάρχουν είναι αυτές που διδαχθήκαμε φέτος, δηλαδή οι:

άθροισμα ή διαφορά στο τετράγωνο $a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ (1)
άθροισμα ή διαφορά στο κύβο $a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3=(a\pm b)^3$ (2)
διαφορά τετραγώνων $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ (3)

Μια ένδειξη για το ποια ταυτότητα μπορεί να υπάρχει στην παράσταση αποτελεί το πλήθος των όρων που υπάρχουν στην παράσταση.Έτσι αν υπάρχουν 2 όροι πιθανόν να έχουμε την ταυτότητα (3), αν υπάρχουν 3 όροι πιθανόν να υπάρχει η ταυτότητα (1) και τέλος με 4 όρους ίσως να “παίζει” η ταυτότητα (2). π.χ. Θέλουμε να παραγοντοποιήσουμε την παράσταση x² – 10x+25 και κοινός παράγοντας δεν υπάρχει, σε ομάδες δεν μπορούμε να η χωρίσουμε θα ελέγξουμε την περίπτωση των ταυτοτήτων. Βλέπουμε ότι έχουμε 3 όρους οπότε υποψιαζόμαστε την ταυτότητα a² – 2ab+b². Παρατηρώντας την παράσταση (κι αφού ξέρω τι ψάχνω να βρω) βλέπω το x² και το 5²(=25) και γι’ αυτό το λόγο δοκιμάζω την (x – 5)² που μου δίνει x² – 2^.x^.5+5²=x² – 10x+25. Βγήκε αυτό που ελπίζαμε άρα μπορούμε τώρα να γράψουμε x² – 10x+25=(x – 5)².[nextpage title=”Συνδυασμοί”]

“Συνδυασμοί”

Να σημειώσουμε εδώ ότι οι τρεις μέθοδοι που παρουσιάστηκαν προηγουμένως είναι οι συνηθέστεροι αλλά όπως αναφέραμε και πιο πάνω δεν είναι οι μοναδικοί και ότι υπάρχουν ασκήσεις που χρειάζεται να συνδυάσουμε τις παραπάνω μεθόδους ή και να αυτοσχεδιάσουμε καμιά φορά. Ας δούμε δύο τέτοιες περιπτώσεις:

π.χ.1 Για να παραγοντοποιήσω την παράσταση x²+5x+6, βλέπω ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας, σε ομάδες δεν χωρίζεται (γιατί έχω μόνο 3 όρους ), αλλά ούτε ταυτότητες υπάρχουν. Παρ’ όλα αυτά θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα τέχνασμα ώστε οι όροι από 3 να γίνουν 4 κι έτσι να δουλέψω με την μέθοδο της ομαδοποίησης. Σπάω λοιπόν τον όρο 5x σε 2x+3x (δια βάστε παρακάτω πως επέλεξα αυτά τα νούμερα γιατί δεν ήταν τυχαίο και με άλλο ζευγάρι δεν γίνεται). Τώρα να δούμε τι πετύχαμε

$x^2+5x+6=x^2+2x+3x+6=$

$x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x+3)$

Παρατήρηση:
α) Το ότι επιλέξαμε να σπάσουμε το 5χ σε 2χ+3χ όπως αναφέρθηκε και παραπάνω δεν ήταν τυχαίο. Είναι μια ολόκληρη μέθοδος που την παρουσιάζει και το σχολικό βιβλίο ως η “μέθοδος τριωνύμου” που με λίγα λόγια λέει το εξής: Όταν θέλω να μετατρέψω σε γινόμενο μια παράσταση της μορφής $x^2+Ax+\Gamma$ προσπαθώ να βρω δυο αριθμούς που αν τους προσθέσω να κάνουν Α ενώ αν τους πολλαπλασιάσω να κάνουν Γ. Αν καταφέρω να βρω αυτούς τους αριθμούς, έστω ότι αυτοί είναι ο κ και ο λ, τότε το τριώνυμο παίρνει τη μορφή $(x+\kappa)(x+\lambda)$ . Έτσι λοιπόν στο παραπάνω παράδειγμα είχαμε: Για το τριώνυμο $x^2+5x+6$ αναζητούμε ένα ζευγάρι αριθμών που θα πρέπει να έχει γινόμενο ίσο με 6 και άθροισμα ίσο με 5. Πριν απαντήσουμε αμέσως ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί ας σκεφτούμε λίγο:

Ξεκινάμε από το γινόμενο διότι υπάρχουν λίγες απαντήσεις. Ενώ άθροισμα 5 μπορώ να σχηματίσω με άπειρα ζευγάρια ακεραίων (π.χ. (2,3) , (6,-1) , (100,-95) κ.α.) , γινόμενο 6 μπορώ να σχηματίσω μόνο με τους: (1,6) , (2,3) , (-1,-6) και (-2,-3).
Από τα παραπάνω ζευγάρια μόνο το ζευγάρι 2 και 3 πληροί τις προϋποθέσεις που έχουμε αφού το άθροισμά τους είναι 5 το δε γινόμενό τους είναι 6.
Άρα έχουμε $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

Τα παραπάνω μπορούμε να τα τακτοποιήσουμε και σε ένα πινακάκι ως εξής:

$x^2+5x+6=(x+\kappa)(x+\lambda)$
κ	λ	Γινόμενο = +6	Άθροισμα = +5
+1	+6	+6	+7
+2	+3	+6	+5
-1	-6	+6	-7
-2	-3	+6	-5
$x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$

Αυτή τη μέθοδο την παρουσιάζουμε εδώ συνοπτικά και δεν χρειάζεται να επιμείνουμε άλλο γιατί σε μερικά μαθήματα παρακάτω θα μάθουμε μια άλλη μέθοδο παραγοντοποίησης του τριωνύμου η οποία δεν παρουσιάζει τους περιορισμούς που

παρουσιάζει αυτή η μέθοδος (όπως για παράδειγμα ότι εφαρμόζεται μόνο στην περίπτωση που ο συντελεστής του x² είναι 1)

β) Πολλές φορές αυτή η μέθοδος αναφέρεται και ως “διάσπαση όρων” όλοι καταλαβαίνουμε το γιατί. Συνήθως δεν καταλαβαίνουμε πότε την χρειαζόμαστε, ποιον όρο να σπάσουμε και πως. Η μέθοδος της διάσπασης είναι γενικότερη από αυτή που παρουσιάσαμε παραπάνω δηλαδή μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλες περιπτώσεις εκτός του τριωνύμου. Δεν θα σταθώ περισσότερο σε αυτήν επειδή κατά τη γνώμη μου είναι “αχρει(α)στη” στους μαθητές και το άρθρο αυτό είναι ήδη τεράστιο εκτός από δύσκολο.
π.χ.2 Έστω ότι θέλω να παραγοντοποιήσω την παράσταση x⁴-x³+x² – 1. Αφού δεν υπάρχει κοινός παράγοντας πάμε για ομαδοποίηση με x⁴ – x³ τη μια ομάδα (που έχει κοινό παράγοντα το x³) και x² – 1 την άλλη ομάδα που δεν έχει κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα x² – 1=(x – 1)(x+1). Άρα θα έχω

$x^4-x^3+x^2-1=(x^4-x^3)+(x^2-1)=$

$x^3(x-1)+(x-1)(x+1)=$

$(x-1)(x^3+(x+1))=(x-1)(x^3+x+1)$

π.χ.3 Για να μετατρέψω σε γινόμενο την $x^2+2xy+y^2+2x+2y$ μπορώ να κάνω ομαδοποίηση (αφού πρώτα παρατήρησα ότι δεν υπάρχει κοινός παράγοντας) χωρίζοντας τις ομάδες “ανορθόδοξα” παίρνοντας πρώτη ομάδα τα $(x^2+2xy+y^2)$ που δεν έχουν κοινό παράγοντα αλλά είναι ταυτότητα και θα γίνει $(x^2+2xy+y^2)=(x+y)^2$ και δεύτερη ομάδα με δύο κομμάτια την $2x+2y$ που έχει κοινό παράγοντα το 2 και θα γίνει $2x+2y=2(x+y)$ κι έτσι θα προκύψουν ίδιες παρενθέσεις. Ας το δούμε κι αυτό

$x^2+2xy+y^2+2x+2y=$

$=(x^2+2xy+y^2)+(2x+2y)=$

$(x+y)^2+2(x+y)=$

$(x+y)[(x+y)+2]=(x+y)(x+y+2)$

[nextpage title=”Συμμάζεμα”]

“Συμμάζεμα”

Αφού είδαμε κάθε μια μέθοδο χωριστά ίσως θα ήταν καλύτερα τώρα να βλέπαμε την παραγοντοποίηση και με μια άλλη ματιά. Πιο πάνω στο άρθρο αυτό αναφέραμε ότι για να παραγοντοποιήσουμε μια αλγεβρική παράσταση ελέγχουμε με τη σειρά: ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ >> ΟΜΑΔΕΣ >> ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ >> ΤΡΙΩΝΥΜΟ. Όμως από τους όρους που έχει αυτή η αλγεβρική παράσταση κάποιες από τις παραπάνω μεθόδους θα μπορούσαν να αποκλειστούν (π.χ. με 2 όρους δεν μπορείς να κάνεις ομαδοποίηση). Έτσι θα μπορούσαμε να σκεφτόμαστε κι ως εξής:

Παραγοντοποίηση με
2 όρους	3 όρους	4 όρους
Κοινός Παράγοντας
Ταυτότητα $A^2-B^2$	Τριώνυμο	Ομαδοποίηση
	Ταυτότητα $(A\pm B)^2$	Ταυτότητα $(A\pm B)^3$

Παραγοντοποίηση

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση;

“Κοινός Παράγοντας”

“Ομαδοποίηση”

[nextpage title=”Ταυτότητες”]

“Ταυτότητες”

“Συνδυασμοί”

[nextpage title=”Συμμάζεμα”]

“Συμμάζεμα”

Σχετικά με pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης

Τι είναι η παραγοντοποίηση;

Πως γίνεται η παραγοντοποίηση;

“Κοινός Παράγοντας”

“Ομαδοποίηση”

[nextpage title=”Ταυτότητες”]

“Ταυτότητες”

“Συνδυασμοί”

[nextpage title=”Συμμάζεμα”]

“Συμμάζεμα”

Σχετικά Άρθρα

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου

Επίλυση Δευτεροβάθμιας Εξίσωσης

Σχετικά με pdouligeris

Αφήστε μια απάντηση Ακύρωση απάντησης